Qui vediamo un Pilota Collaudatore (sulla destra) intento al suo operato.
Si prova un modello fine (non di profilo)
Un attenta analisi lascia intendere una fine ricerca aerodinamica.
Un pilota si vede dal suo modello
Chi comanda ha i suoi "privilegi"
Vai "Frank"
5 commenti:
Ah ragazzacci! ma vi assicuro che l'onore è salvo, il costruttore mi ha garantito che il vile depronazzo è stato adeguatamente ricoperto con materiali nobili come vetro e resina epoxy ;-)
Noto che, se mi ricordo ancora Analisi, stavo pensando a una funzione oscillante in x, somma di due funzioni trigonometriche... sarà che stavo cercando di capire per quale motivo gli alettoni flettevano?
Soluzione diretta dell'equazione differenziale del moto armonico
Il moto armonico è quello di un punto materiale la cui accelerazione a obbedisce alla legge a = –w2x .
Questa condizione da luogo all'equazione differenziale
d2 x
dt2 = - 2x (1)
la quale ammette la soluzione
x(t) = Asin( t + ) (2)
dove A e sono due costanti determinate dalle condizioni iniziali. La (2) si può calcolare direttamente.
A questo scopo nella (1) scriviamo d2x/dt2 = dv/dt. Inoltre moltiplichiamo per v entrambi i membri,
avendo l’avvertenza di scrivere v come dx/dt nel membro di destra. Si trova:
dv
dt
v = - 2 dx
dt
x
Semplificando la quantità dt si ricava un’equazione a variabili separate:
vdv = - 2 xdx
Per risolverla integriamo ambo i membri scegliendo estremi di integrazione corrispondenti: mentre la
velocità passa dal valore iniziale v0 ad un generico valore v,la posizione passa dal valore iniziale x0 al
generico valore x
vdv
v 0
v
ó
õ
= - 2 xdx
x 0
x
ó
õ
Risolvendo gli integrali si trova
1
2
v2 - 1
2
v0
2 = - 2 1
2
x2 - 1
2
x0
æ 2
è
ö
ø
che si può scrivere
v = v0
2 - 2 x2 - x0
( 2) (3)
Questa relazione rappresenta la velocità nel moto armonico in funzione della posizione x. Per ricavare
la legge oraria integriamo ulteriormente. Riscriviamo la (3) come
dx
dt
= v0
2 - 2 x2 - x0
( 2)
e separando le variabili si trova:
dx
v0
2 - 2 x2 - x0
( 2) = dt
dx
v0
2
2 + x0
2 - x2
= dt
Integriamo ambo i membri scegliendo per semplicità t0 = 0:
- 1 -
dx
v0
2
2 + x0
2 - x2
x 0
x
ó
õ
ô = dt
0
t
ó
õ (4)
Nelle tavole degli integrali si trova:
dx
a2 - x2
ó
õ
= arcsin
x
a
æ
è
ö
ø (5)
e quindi, identificando nella (5) la quantità v0
2/ 2+x0
2 con la costante a2, abbiamo
dx
v0
2
2 + x0
2 - x2
ó
õ
ô = arcsin
x
v0
2
2 + x0
2
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
e quindi, risolvendo gli integrali nella (4)
arcsin
x
v0
2
2 + x0
2
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
x0
x
= t
arcsin
x
v0
2
2 + x0
2
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
- arcsin
x0
v0
2
2 + x0
2
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
= t
Adesso, posto
= arcsin
x0
v0
2
2 + x0
2
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
(6)
troviamo
arcsin
x
v0
2
2 + x0
2
æ
è
ç
çç
ö
ø
÷
÷÷
= t +
da cui, posto
A = v0
2
2 + x0
2 (7)
- 2 -
si trova alla fine:
x = Asin ( t + ) (8)
La condizione (6) determina a meno del segno. Per determinare in maniera univoca calcoliamo la
velocità:
v = dx
dt
= Acos( t + ) (9)
e ricordando adesso che
x0 = x(0) = Asin (10)
v0 = v(0) = Acos (11)
dividendo la (10) e la (11) si ottiene
= arctan
x0
v0
æ
è
ç ö
ø
÷ (12)
Evidentemente la costante A rappresenta l’ampiezza massima delle oscillazioni rispetto alla posizione
centrale x=0 mentre la costante è determinata dai valori iniziali x0 e v0, cioè dai valori di x e v per
t=0. Ad esempio, se a t=0 l’oscillazione parte dal centro del moto, allora x0=0 e si ha A=v0/w e =0.
Se invece a t=0 l’oscillazione parte da un punto corrispondente all’estremità positiva della massima
oscillazione, laddove la velocità inverte il segno, allora v0=0 e quindi A=x0 e =p/2. Si osservi inoltre
che, dato che risulta sempre –1 £ sin( t+ £1, dalla (8) risulta x2 £ A2 e quindi
x2 £ v0
2
2 + x0
2
il che assicura che la radice quadrata nella (3) e seguenti è sempre un numero reale.
Ahi ahi ahi se vuoi fare il copia e incolla fallo... ma occhio a quello che perdi per strada! non è che si capisca gran che.
La soluzione generale, a prescindere dal significato fisico che dai a x e t, dovrebbe essere:
x = C1 cos ( w^(1/2)t ) + C2 sin ( w^(1/2)t )
Giusto? e le due costanti si determinano a seconda delle condizioni al contorno del significato fisico che attribuisci al problema.
Nel nostro caso, ogni elemento infinitesimo dell'alettone dello schiumazzo subisce un'accelerazione proporzionale alla distanza dal punto di applicazione della forza. Risultato: flutter, e pezzi di polistirolo in giro. :)
Io dico che a Π/2 è meglio!
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